他当初刚写第一篇论文的时候，就拟好了这个题目，只是由于数学基础不够，一直停留在构思阶段。

这两天他利用碎片时间，稍微补了补高数知识，这才真正动笔。

江寒将近期一些想法整理了一下，罗列了个大纲出来。

很多机器学习分类算法，都要求假设数据线性可分，“感知机”也不例外。

如果数据不是线性可分的，就必须采用一些特殊的方法，把数据非线性地投射到更高的维度上。

在高维空间里，数据更有可能变成线性可分的，这就是所谓的Cover定理。

对于感知机来说，处理线性不可分的问题，有个最简单的解决办法，那就是把单层感知机拓展为多层感知机。

多层感知机的关键，在于如何训练各层之间的连接权值。

一种常用的办法是只训练某两层间的连接权值，而将其它连接权值进行固定。

可以从数学上证明，对于所有非线性可分的样本集，这种方法都是收敛的。

也可以采用BP技术，也就是另一个世界里，大名鼎鼎的“反向传播神经网络”。

当然，这个世界里，“感知机”都还没正式登场，说这些还有点早。

至于BP技术什么时候问世，基本上是江寒自己说了算……

此外，还可以将数据带到核空间，再进行分类。

在另一个世界里，有很多著名的算法，例如支持向量机SVM、径向基神经网络RBFNN等等，都采用了所谓的“核方法”。

核方法的核心，是核函数。

工业生产中，常用的核函数有线形核、多项式核、高斯核等等。

所谓核空间，百度百科上说：“核型空间是一类局部凸空间。”

具体来说：如果对零元的任何均衡凸邻域V，存在另一零元的均衡凸邻域U?V，使得典型映射是核映射，则局部凸空间X称为核型空间。

这里，XU是商空间(X，PU(·))/{xPU(x)=0}，而XV是商空间(X，PV(·))/{xPV(x)=0}的完备化空间，PU(·)及PV(·)是由U和V各自产生的闵可夫斯基泛函。

嗯，江寒刚开始看到这个的时候，还真有点懵逼。

所以，再加强一点数学素养，还是很有必要的说……

当然，就算不懂上面的数学表达，一样可以理解核函数的功能。

核函数主要做的事情，就是将样本映射到更高维的空间。

但是，这样做虽然能使样本变得可分，但却会造成维数过高，使得计算量急遽增大。

这就是“高维NP难”问题。

所谓ard，是指：非确定性多项式问题的大型实例，不能用精确算法求解，只能寻求有效的近似算法。

而解决的办法，也有很多……

好吧，先回到一开始的问题：如何判断数据是线性可分的？

最简单的情况，比如数据向量是一维、二维或者三维的，只要把图像画出来，直观上就能判断出来。

但如果数据向量的维度变得很高，又该怎么办？

答案是检查凸包convexhull是否相交。

所谓凸包，简单的说，就是一个凸的闭合曲线曲面，它刚好包住了所有的数据。

以二维的情况为例，如果我们的数据训练集有两类：M+和M。

当我们画出两个类的凸包，如果两者不重叠，那么两者线性可分，反之则线性不可分。

靠画出图形，然后用眼睛来判断是否线性可分，虽然比直接看数据更加容易了些……

但好像依然没有解决高维数据的问题？

其实不是这样的。

判断两个凸包是不是有重叠，可以通过判断两个凸包M+和M的边是否相交来实现，而无需把凸包画出来。

要想高效地找到一组数据的凸包，在计算几何中有很多现成的算法：

穷举法、分治法、Jarvis步进法、Graham扫描法、Melkman算法……

江寒在这篇论文中选择的算法，称之为快速凸包算法quickhull。

第二个问题，如何高效地判断出，两个凸包的边缘是否相交？

也有许多可选的算法，江寒使用了所谓的扫描线算法sweepline。