陆正庭看着白板上的公式，愣了几秒。

他只是想问楚若然对什么数学方向感兴趣，没想到他直接在白板上出了两个猜想。

楚若然看出了陆正庭的迟疑，轻声道：“陆院长，其实我对数学的各个方向都感兴趣。我都想研究。”

陆正庭听完，微微一笑：“没有人可以做到涉猎广泛并精通。做学问，总得先挖一个坑再往下掘。”

楚若然指了指余南汐，也微笑道：“我和她是可以不断挖坑并深入发掘的人，一个坑对我们来说太少了。”

这话一出，一旁的季志远愣了愣。

不断挖坑？

你这孩子，怎么在菲尔兹奖得主面前大放厥词？

不过比起季志远的愣神，陆正庭倒是目光带着几分深意的看向楚若然：“你能说出这话来我很欣慰。优秀的数学家从不止步于眼前的成就。”

“那我们就不聊方向了，聊聊能力。”

他抬起手擦掉黑板上的笔迹，重新写下一行公式：Δu+λu=0

“我们从最基础的偏微分方程聊起。这是一条拉普拉斯方程，假设在有限区域内，边界条件为零，λ为常数，谈谈你们对解的存在性有什么看法。”

季志远在一旁看着，眉头微微挑起。

这是一道很开放的题。严格意义上来讲，它甚至算不上题，更像是一个门槛。

他立刻意识到陆正庭是想考察两个孩子的思维方式。

楚若然拿起白板笔稍作思索，随后走上前在空白处写下几个小字：分离变量法。

“如果λ=0，可以视为调和函数问题。对二维情况，若Ω为有界区域，可展开为傅里叶级数，得到满足Dirichlet边界条件的唯一解。”

陆正庭点头：“那若λ>0呢？”

楚若然：“那就转化为Helmholtz方程。若边界仍为零，可以利用特征函数展开法，解为一组正交特征函数的线性组合。不过在高维下，特征值的分布规律……目前还没有解析式。”

陆正庭微微眯眼。

分离变量、特征函数、边界条件、特征值分布，全部提到了。

他又看向一旁的余南汐：“同学，有什么补充？”

“唔，若λ取复数，解就不再局限于实空间，可以考虑解析延拓。这时候调和函数解集的性质和黎曼ζ函数的解析延拓形式有一点相似。”

“嗯。”

陆正庭沉吟片刻，又抬手写下一行新的公式：?u/?t =Δu

他侧过身，看向两个人：“假设区域Ω有界，边界条件齐次，初始函数在C2空间中。请说说你们认为这种方程的解，在时间t上的连续性与唯一性如何？”

楚若然思考几秒：“若系数常数且域有界，可利用特征展开法。解可表示为u(x，t)=ΣA?e^(?λ?t)φ?(x)+……，其中λ?为Laplace算子的特征值，φ?为正交基函数。由于λ?>0，系数指数衰减，解在t上连续且唯一。”

陆正庭点头：“那如果系数不恒定呢？”

余南汐软声接道：“唔.....若Δ替换为椭圆型算子div(a(x)?u)，只要a(x)在区域内正定且连续，就仍然可以证明弱解存在。可以通过能量估计与Poincaré不等式得到∥u(t)∥随时间单调不增，从而保证解的稳定性与唯一性。”

“很好。”陆正庭目光微亮。

他又写下一条式子：?2u/?t2+Δu = 0

“换个类型。这个方程的基本解性质与前一个有何不同？”

楚若然：“前者是典型的抛物型算子，解随时间平滑化；这一条则为双曲型算子，平滑性不增强，只保持连续。形式解可写作u(x，t)=ΣA?cos(√λ?t)+……”

余南汐在旁轻声补充：“唔，若算子Δ改为一般椭圆型L=?div(A?u)+q(x)u，则谱为正定离散。”

陆正庭：“那我继续。”

L(u)=div(a(x)?u)+b(x)·?u+c(x)u=f(x)

“这是最一般的线性椭圆型方程。假设a，b，c连续且a(x)正定。谈谈你们认为解的正则性应满足什么条件。”

楚若然抬起头：“若f∈L2(Ω)，则......”

“若f∈C^α且边界光滑，则......”

“若再放宽到非齐次边界条件，可通过Lax-Milgram引理.......”

余南汐轻声补充：“唔，如果a(x)只在弱意义下正定，比如........”

“唔，当a具有分段光滑性时，可以利用加权Sobolev空间的正则性理论证明……”

两个人一唱一和，互相佐证。

季志远在一旁听得一愣一愣的。

虽然早有心理准备。但当听到如此流利的快问快答，而且逻辑严丝合缝。季志远大受震撼。

回答还在继续。

L(u)=Σ?i，j? a??(x)?2u/?x??x?+......

“对这个公式，假设a??对称且在区域内满足一致椭圆性，讨论此算子的自伴性与谱性质。”陆正庭道。

这一次，楚若然与余南汐几乎同时开口。

“若a??光滑且b?=c=0，在H?1(Ω)上定义的算子是自伴的。其谱为........”

“因此任意u∈L2(Ω)可展开为.......”

“唔.....若b?不为零但满足div(b)=0，可通过加权内积修正对称性。”

“唔，而若c(x)<0，则最低特征值可能为负，但谱仍为离散……”

陆正庭摸了摸下巴，眼神逐渐凝重：“很好。那如果a??只分段连续呢？会影响正则性吗？”

楚若然：“会。弱解在分界面上保持函数连续，但梯度一般不连续。若每个分区内a??∈C1，则.......”