设正整数a， b满足ab+1可以整除a2+b2，证明(a2+b2)/(ab+1)是某个整数的平方。

例如代入a = 1，b = 1，我们得到 k =(12+12)/(1x1+1)= 1，显然这是一个平方数。

请论证出来

下面是何闻君的论证过程

ab+1可以整除a2+b2，所以(a2+b2)/(ab+1)是正整数。设有正整数a及b满足(a2+b2)/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。

在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响(a12+ b12)/(a1b1 +1)的值，所以我们不妨假设a1>= b1。

将a1与b1代入上面的式子得到

a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+(b12-k)= 0 的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到

由此进一步得到a2需要满足的条件，

根据(1)，a2必为整数。

根据(2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。

k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)/(a2b1+1)= k，显然a2不可以是负数。

假设过 a1>= b1 吗？因此根据(2)，a2必定小于a1。

我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+ b12)/(a2b1 +1)= k，其中k不是平方数。a2与b1是满足(a2+b2)/(ab+1)=k（其中k不是平方数）的一组解，但它们的和比a1与b1小，“没有最小，只有更小”。不过我们之前已经假设了a1与b1的和是众多组解中最小的，这样就产生矛盾了。

因此如果正整数a， b满足ab+1可以整除a2+b2，(a2+b2)/(ab+1)必定是平方数！

——

“精彩！精彩啊！”李知州又看了一遍，情不自禁的高呼出声，引得阅卷室内的一众老师纷纷围了过来。

.....

“嘶！老李不是我说你，你这道题就是拿到国际赛上都能做压轴题了，你出在省赛？怎么样，被人做出来了，打脸了吧！哈哈哈哈。”一位年纪稍大的老人家嘲笑着李知州说道。

另一名阅卷老师插嘴道

“哈哈，是啊！要是这个何闻君能留在咱们金陵数学院就好了。”

说到此处便忍不住叹息一声接着道

“唉，等到了首都的全国大赛，清、北数院肯定不会放过这么好的苗子，咱们金陵数学院是没机会了。”

听闻此言，另一位阅卷老师冷笑道

“呵呵，你觉得以这位同学的实力进不了国际赛吗？咱们国家队在国际赛上本来就是强队，再加上今年的何闻君，他在国际赛上拿金牌也是正常操作，到时候这个何闻君还留不留在国内都不好说喽。”

李知州又扫了一眼试卷上方，左上角的身份信息惊呼道

“什么！他还是初中生！！”

众阅卷老师：“！！！”

收卷老师小方一脸懵逼，他记得这个学生好像就用了四十来分钟就把试卷做完了吧？接着就在那睡觉，全场也就只有他一个人在睡觉，小方老师映像很深。

“要不要跟院长说呢？”看着有些癫狂的众人，小方老师纠结了。

ps：多码了几百个字，不要觉得我用公式水字数哦，删了答案就不对了~

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